Os produtos notáveis recebem essa nomenclatura porque necessitam de atenção. Por que será? Simplesmente porque eles facilitam os cálculos, reduzem o tempo de resolução e agilizam o aprendizado.
Lá no passado, os gregos faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos notáveis modernos. Na obra de Euclides de Alexandria, Elementos, os produtos notáveis foram utilizados e registrados na forma de representações geométricas.
Em álgebra, os polinômios aparecem com certa frequência e podem ser denominados de produtos notáveis. Neste artigo aprenderemos um pouco sobre algumas operações algébricas frequentemente associadas aos produtos notáveis, como o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos.
Veja também: Números Romanos.
Especialista em matemática comenta sobre os produtos notáveis
Ainda segundo a explicação de Naysa Oliveira, graduanda em Matemática, os produtos notáveis apresentam cinco casos distintos. Segundo ela, antes de entendermos o que são produtos notáveis, devemos saber o que são expressões algébricas, isto é, equações que possuem letras e números.
Veja alguns exemplos:
2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z2 + ax + 2y = 3
Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, que, por sua vez, são a simplificação de produtos algébricos. Veja:
(x + 2) . (x + 2) =
(y – 3) . (y – 3) =
(z + 4 ). ( z – 4) =
Cinco casos de Produtos Notáveis
Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber:
Primeiro Caso: Quadrado da soma de dois termos.
quadrado = expoente 2;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o quadrado da soma de dois termos é: (a + b)2
Efetuando o produto do quadrado da soma, obtemos:
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a2 + a . b + a . b + b2 = a2 + 2 . a . b + b2
Toda essa expressão, ao ser reduzida, forma o produto notável, que é dado por:
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
Sendo assim, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(2 + a)2 = 22 + 2 . 2 . a + a2 = 4 + 4 . a + a2
(3x + y)2 = (3 x)2 + 2 . 3x . y + y2 = 9×2 +6 . x . y + y2
Segundo Caso: Quadrado da diferença de dois termos.
Quadrado = expoente 2;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o quadrado da diferença de dois termos é: (a – b)2.
Vamos efetuar os produtos por meio da propriedade distributiva:
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a2 – a . b – a . b + b2 = a2 – 2 .a . b + b2
Reduzindo essa expressão, obtemos o produto notável:
(a – b)2 = a2 – 2 .a . b + b2
Temos, então, que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(a – 5c)2 = a2 – 2 . a . 5c + (5c)2 = a2 – 10 . a . c + 25c2
(p – 2s) = p2 – 2 . p . 2s + (2s)2 = p2 – 4 . p . s + 4s2
Terceiro Caso: Produto da soma pela diferença de dois termos.
Produto = operação de multiplicação;
Soma de dois termos = a + b;
Diferença de dois termos = a – b;
O produto da soma pela diferença de dois termos é: (a + b) . (a – b)
Resolvendo o produto de (a + b) . (a – b), obtemos:
(a + b) . (a – b) = a2 – ab + ab – b2 =a2 + 0 + b2 = a2 – b2
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
Podemos concluir, portanto, que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(2 – c) . (2 + c) = 22 – c2 = 4 – c2
(3×2 – 1) . (3×2 + 1) = (3×2)2 – 12 =9×4 – 1
Quarto caso: Cubo da soma de dois termos
Cubo = expoente 3;
Soma de dois termos = a + b;
Logo, o cubo da soma de dois termos é: (a + b)3
Efetuando o produto por meio da propriedade distributiva, obtemos:
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a2 + a . b + a . b + b2) . (a + b) = ( a2 + 2 . a . b + b2 ) . ( a + b ) = a3 +2. a2 . b + a . b2 + a2 . b + 2 . a . b2 + b3 = a3 +3 . a2 . b + 3. a . b2 + b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo.
Exemplos
(3c + 2a)3 = (3c)3 + 3 . (3c)2 .2a + 3 . 3c . (2a)2 + (2a)3 = 27c3 + 54 . c2 . a + 36 . c . a2 + 8a3
Quinto caso: Cubo da diferença de dois termos
Cubo = expoente 3;
Diferença de dois termos = a – b;
Logo, o cubo da diferença de dois termos é: ( a – b )3.
Efetuando os produtos, obtemos:
(a – b)3 = (a – b) . (a – b) . (a – b) = (a2 – a . b – a . b + b2) . (a – b) = (a2 – 2 . a . b + b2) . (a – b) =a3 – 2. a2 . b + a . b2 – a2 . b + 2 . a . b2 – b3 =a3 – 3 . a2 . b + 3. a . b2 – b3
Reduzindo a expressão, obtemos o produto notável:
(a – b)3 = a3 – 3 . a2 . b + 3 . a . b2 – b3
O cubo da diferença de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, menos três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, menos o cubo do segundo termo.
Exemplo:
(x – 2y)3 = x3 – 3 . x2 . 2y + 3 . x . (2y)2 – (2y)3 =x3 – 6 . x2 . y + 12 . x . y2 – 8y3
Macetes para resolver alguns Produtos notáveis
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